Question

【题目】已知：以点 为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圆C过原点O，

∴ ，

设圆C的方程是 ，

令x=0，得 ，

令y=0，得x1=0，x2=2t

∴ ，

即：△OAB的面积为定值；

（2）解：∵OM=ON，CM=CN，

∴OC垂直平分线段MN，

∵kMN=﹣2，∴ ，

∴直线OC的方程是 ，

∴ ，解得：t=2或t=﹣2，

当t=2时，圆心C的坐标为（2，1）， ，

此时C到直线y=﹣2x+4的距离 ，

圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，

当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1）， ，

此时C到直线y=﹣2x+4的距离 ，

圆C与直线y=﹣2x+4不相交，

∴t=﹣2不符合题意舍去，

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

【解析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．
【考点精析】关于本题考查的截距式方程和圆的标准方程，需要了解直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中；圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程才能得出正确答案．