Question

已知函数y=sinxcosx-

3

sin²x，
（1）指出函数的对称轴、对称中心；
（2）指出函数的单调递增区间；
（3）函数在[-

2π

3

，-

π

12

]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，以及两角和的正弦函数，化简函数y=sinxcosx-

3

sin²x为：y=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（1）根据正弦函数的对称轴，对称中心的横坐标，求出函数y=sinxcosx-

3

sin²x的对称轴、对称中心．
（2）利用正弦函数的单调增区间，求出函数y=sinxcosx-

3

sin²x的单调增区间即可．
（3）根据[-

2π

3

，-

π

12

]求出2x+

π

3

的取值范围，然后求出函数的最大值以及最小值，写出最值时的x的值．

解答：解：y=sinxcosx-

3

sin²x=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（1）对称轴：由2x+

π

3

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
对称中心：由2x+

π

3

=kπ得x=

kπ

2

-

π

6

，
∴函数图象的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，-

3

2

）k∈Z．
（2）由2x+

π

3

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
∴[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．
（3）将2x+

π

3

视为一个角θ，∵x∈（-

2π

3

，-

π

12

]
∴θ∈（-π，

π

6

]，画函数y=sinθ的草图，观察θ∈（-π，

π

6

]时函数值的范围为[-1，

1

2

]，
当且仅当θ=-

π

2

时sinθ取得最小值-1，θ=

π

6

时sinθ取得最大值

1

2

；
即x=-

5π

12

时原函数最小值-2-

3

2

，x=-

π

12

时原函数最大值1-

3

2

．

点评：本题是中档题，考查利用二倍角和两角和的正弦函数化简三角函数，利用基本函数的性质，求解三角函数的性质，是解好数学问题的常用方法．