Question

当直线l：y=k（x-1）+2被圆C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短时，则k=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：先求出圆心到直线l的距离为d，设弦长为L，则（

L

2

）²+d²=r²，再根据L的解析式，利用基本不等式求得L的最小值．

解答： 解：圆C：（x-2）²+（y-1）²=5的圆心（2，1），半径为

5

，
设圆心到直线l的距离为d，则 d=

|2k-1-k+2|

k2+(-1)2

=

|k+1|

k2+1

，
又设弦长为L，则（

L

2

）²+d²=r²，即  （

L

2

）²=5-

(k+1)2

k2+1

=5-（1+

2k

k2+1

）=4-

2k

k2+1

≥3．
∴当k=1时，（

L

2

）²_min=3，
∴直线l：y=k（x-1）+2被圆C：（x-2）²+（y-1）²=5截得的弦最短时，则k=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．