Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-lnx，a∈R⁺．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a代入函数通过讨论求出即可，（Ⅱ）先求出函数的单调区间，再通过讨论a的范围将a 求出即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=

1

2

x²-lnx，
∴f′（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

，
∴x²-1＞0即x＞1时：f′（x）＞0，
x²-1＜0即0＜x＜1时：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
（Ⅱ）f′（x）=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，
∵a是正数，令f′（x）=0，解得：x=

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）递减，在（

1

a

，+∞）递增，
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时：
函数f（x）在区间[1，e]的最小值为：
f（1）=

1

2

a-ln1=1，解得：a=2，
②当1＜

1

a

＜e，即：

1

e2

＜a＜1时：
函数f（x）在区间[1，e]的最小值为：
f（

1

a

）=

1

2

•a•

1

a

-ln

1

a

=1，解得：a=e（舍），
③当

1

a

≥e，即：0＜a≤

1

e2

时：
函数f（x）在区间[1，e]的最小值为：
f（e）=

1

2

•a•e²-lne=1，解得：a=

4

e2

（舍），
综合以上得：a=2．

点评：本题考察了导数的应用，函数的单调性，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．