Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax-1，g（x）=lnx-ax+a，若存在x₀∈（1，2），使得f（x₀）g（x₀）＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（ln2，\frac{{{e^2}-1}}{2}）$
• B． （ln2，e-1）
• C． [1，e-1）
• D． $[1，\frac{{{e^2}-1}}{2}）$

Answer 1

分析 令F（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，令G（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{x}$，根据函数的单调性分别求出F（x）的最小值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{f（x）＞0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{{e}^{x}+1}{x}}\\{a＞\frac{lnx}{x-1}}\end{array}\right.$⇒$\frac{lnx}{x-1}$＜a＜$\frac{{e}^{x}+1}{x}$，
令F（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，则F′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{{（x-1）}^{2}}$＜0对x∈（1，2）成立，
∴F（x）在（1，2）递减，
∴F（x）_min=F（2）=ln2，
令G（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{x}$，则G′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1}{{x}^{2}}$＞0对x∈（1，2）成立，
∴G（x）在（1，2）上递增，
∴G（x）_max=G（2）=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$，
若存在x₀∈（1，2），使得f（x₀）g（x₀）＜0，
则ln2＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{2}$时，满足题意，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．