Question

14．已知向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OQ}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{PQ}$|在t₀时取最小值，当0＜t₀＜$\frac{1}{4}$时，cosθ的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，1）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 由向量的运算求得${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t₀=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，根据0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{4}$，能求出cosθ的取值范围．

解答 解：由题意得：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2×1×cosθ=2cosθ，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$=（1-t）$\overrightarrow{OB}$-t$\overrightarrow{OA}$，
∴${\overrightarrow{PQ}}^{2}$=（1-t）²•${\overrightarrow{OB}}^{2}$+${t}^{2}•{\overrightarrow{OA}}^{2}$-2t（1-t）•$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，
由二次函数知，当上式取最小值时，${t}_{0}=\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，
∵0＜t₀＜$\frac{1}{4}$，∴0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{4}$，
解得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜$\frac{1}{4}$．
∴cosθ的取值范围为（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$）．
故选：D．

点评 本题考查向量数量积与向量的夹角，考查二次函数、三角函数、向量、分式不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、运动与方程思想，考查应用意识、创新意识，是中档题．