Question

4．已知p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}≤0$．
（1）若a=1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．
（2）求出￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，即可解出．

解答 解：（1）当a=1，（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3，
由$\frac{x-3}{x-2}≤0$解得2＜x≤3，
∵p，q均正确，
∴2＜x＜3，
故实数x的取值范围为（2，3），
（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∵p为a＜x＜3a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2，
故实数a的取值范围（1，2]．

点评 本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．