Question

9．在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-32，a₃+a₈=-40．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差是d，运用等差数列的通项公式解方程即可得到首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}=4n-2+{2^{n-1}}$，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d．
a₂+a₇=-32，a₃+a₈=-40．
相减可得（a₃+a₈）-（a₂+a₇）=2d=-8，
∴d=-4．
∴a₂+a₇=2a₁+7d=-32，得a₁=-2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=-4n+2．
（2）由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴${a_n}+{b_n}={2^{n-1}}$
∴${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}=4n-2+{2^{n-1}}$，
∴前n项和S_n=[2+6+10+…+（4n-2）]+（1+2+4+…+2^n-1）
=$\frac{n（2+4n-2）}{2}+\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=2{n^2}+{2^n}-1$．

点评 本题考查等差和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．