Question

14．如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，$BD=2\sqrt{3}$，AC与BD中心O点，将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面PDB；
（2）求已知二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）易知O为BD的中点，则AC⊥BD，即AC⊥平面PBD，即平面PAC⊥平面PDB．
（2）过P作DB的垂线，垂足为H，则PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，
以OB为x后，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求解．

解答 解：（1）证明：∵△BCD为正三角形，AD=AB=2，易知O为BD的中点，则AC⊥BD，
又PO?平面PBD，所以AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB．
（2）过P作DB的垂线，垂足为H，则PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，
以OB为x后，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），$B（\sqrt{3}，0，0）$，$P（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，\frac{3}{2}）$，
易知平面PBD的法向量为$\overrightarrow n=（0，1，0）$，$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{AP}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，\frac{3}{2}）$，
设平面ABP的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AB}}\\{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AP}}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n×\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow n×\overrightarrow{AP}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow n=（1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
二面角A-PB-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求空间角，属于中档题．