Question

6．设函数f（x）=|x-a|+|x-2|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤2；
（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤$\frac{{t}^{2}+4}{t}$对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用绝对值的几何意义得答案；
（Ⅱ）求出f（x）≤$\frac{{t}^{2}+4}{t}$对任意t＞0的最小值，f（x）=|x-a|+|x-2|≥|x-a-x+2|=|a-2|，即f（x）的最小值为|a-2|．即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=|x-1|+|x-2|．
不等式f（x）＞2化为|x-1|+|x-2|≤2．
x＜1时，不等式可化为3-2x≤2，∴x≥$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤x＜1；
1≤x≤2时，不等式可化为1≤2，成立；
x＞2时，不等式可化为2x-3≤2，∴x≤$\frac{5}{2}$，∴2＜x≤$\frac{5}{2}$；
综上所述，不等式的解集为[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
（2）f（x）=|x-a|+|x-2|≥|x-a-x+2|=|a-2|，即f（x）的最小值为|a-2|．
∵t＞0，$\frac{{t}^{2}+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$≥4，当且仅当t=2时，$\frac{{t}^{2}+4}{t}$取得最小值4，
由题意，|a-2|≤4，∴-2≤a≤6．

点评 本题考查函数存在性问题，考查了绝对值不等式的解法，正确理解、运用绝对值的几何意义是解答该题的关键，是中档题．