Question

1．直线2x-y+a=0与3x+y-3=0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$表示的区域上运动时，m=4x+3y的最大值为8，此时n=$\frac{y}{x+3}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 联立方程组求得A的坐标，把A的坐标代入m=4x+3y=8求得a值，得到可行域，再由n=$\frac{y}{x+3}$的几何意义，即点B（-3，0）与P（x，y）连线的斜率求解．

解答 解：由直线2x-y+a=0与3x+y-3=0交于点A，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，得A（$\frac{3-a}{5}，\frac{6+3a}{5}$），
将直线4x+3y=0平移经过A点时，
m取最大值，∴$4×\frac{3-a}{5}+3×\frac{6+3a}{5}=6+a=8$，得a=2．
于是，点A的坐标为（$\frac{1}{5}，\frac{12}{5}$），
∵n=$\frac{y}{x+3}$表示点B（-3，0）与P（x，y）连线的斜率，
由图可知，当P与点A重合时，n取最大值，
∴n的最大值为$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{5}+3}=\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．