Question

14．一个几何体的三视图如图所示：
（1）求这个几何体的体积；
（2）若该几何体的表面积为球O表面积的$\frac{7}{4}$ 倍，求球O内接正方体的表面积．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知，原几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，然后由体积公式求解；
（2）求出组合体的表面积，进一步得到球的表面积，从而求得球内接正方体的棱长，则球O内接正方体的表面积可求．

解答 解：（1）由三视图可知，原几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体．
且圆锥底面半径为1，母线长为2，圆柱底面半径为1，高为2．
则圆锥的高为$\sqrt{3}$，
∴几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×\sqrt{3}+2π=\frac{6+\sqrt{3}}{3}π$；
（2）几何体的表面积为圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的下底面积．
等于π×1×2+2π×1×2+π×1²=7π．
∴球O的表面积为4π，
设球的半径为R，则由4π×R²=4π，得R=1．
∴球的内接正方体的体对角线长为2，则棱长为a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴正方体的表面积为6a²=8．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积与表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．