Question

2．一个游戏的规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子，若朝上的点数是1，则你赢t元；若点数是2，3或者4，则你输2元；若点数是5或者6，则不输不赢．
（1）若t=4，你（玩家）连续玩了三次游戏，求你不输钱的概率；
（2）如果玩一次游戏要对你（玩家）有利，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件，抛掷一次骰子，赢4元的概率为$\frac{1}{6}$，输2元的概率为$\frac{1}{2}$，不输不赢的概率为$\frac{1}{3}$，记事件A=“玩家连玩三次，不输钱”，由此利用对立事件概率计算公式能求出玩家连玩三次，不输钱的概率．
（2）记玩一次游戏，玩家获得ξ，则ξ的可能取值为t，-2，0，分别求出相应的概率，从而求出Eξ，若玩一次游戏要对玩家的利，则Eξ》0，由此能求出t的范围．

解答 解：（1）根据条件，抛掷一次骰子，赢4元的概率为$\frac{1}{6}$，
输2元的概率为$\frac{1}{2}$，不输不赢的概率为$\frac{1}{3}$，
记事件A=“玩家连玩三次，不输钱”，
每次游戏之间可以视为独立，
∴玩家连玩三次，不输钱的概率：
P=1-P（$\overline{A}$）=1-（$\frac{1}{2}$）³-${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{3}）$-${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{11}{24}$．
（2）记玩一次游戏，玩家获得ξ，则ξ的可能取值为t，-2，0，
P（ξ=1）=t，
P（ξ=-2）=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
P（ξ=0）=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	t	-2	0
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

如果玩一次游戏要对玩家的利，
则Eξ=$\frac{1}{6}t-2×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}$=$\frac{t}{6}-1＞0$，解得t＞6．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查对立事件、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．