Question

11．设数列{a_n}前n项和为S_n，如果${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$那么a₄₈=350．

Answer 1

分析 ${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$，即（n+3）a_n=3S_n，利用递推关系可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$．再利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$，∴（n+3）a_n=3S_n，
n≥2时，（n+2）a_n-1=3S_n-1，
相减可得：（n+3）a_n-（n+2）a_n-1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁=$\frac{n+2}{n}$×$\frac{n+1}{n-1}$×$\frac{n}{n-2}$×…×$\frac{6}{4}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{6}{7}$=$\frac{（n+2）（n+1）}{7}$．
那么a₄₈=$\frac{50×49}{7}$=350．
故答案为：350．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．