Question

16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{1}{2}$π
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π

Answer 1

分析 由三视图，可得直观图是有一侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角边长分别为3，3$\sqrt{3}$的直角三角形，三棱锥的高为3$\sqrt{3}$，利用等体积方法求出内切球的半径，即可求出该几何体的内切球的体积．

解答 解：由三视图，可得直观图是有一侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角边长分别为3，3$\sqrt{3}$的直角三角形，三棱锥的高为3$\sqrt{3}$，体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}×3\sqrt{3}$=$\frac{27}{2}$，三棱锥的表面积为2×$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×\sqrt{27+9}×3\sqrt{3}$×2=27$\sqrt{3}$，
设内切球的半径为r，则$\frac{1}{3}×27\sqrt{3}×r=\frac{27}{2}$，∴r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴该几何体的内切球的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$，
故选D．

点评 本题考查了由三视图求几何体的面积体积的问题，注意三视图中：正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽．