Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$2\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=1$及$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$便可求出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}$，以及$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}，（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$的值，从而求出$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$及$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$4+4×2×1×\frac{1}{2}+4$
=12；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$4+2×2×1×\frac{1}{2}+1=7$，
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$4-2×2×1×\frac{1}{2}+1=3$；
∴$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}，|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{21}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$，$\sqrt{21}$．

点评 考查数量积的运算及计算公式，要求$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|$而求$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}$的方法．