Question

1．已知$tanα=-\frac{3}{4}，α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，求
（1）$tan（{\frac{π}{4}-α}）$的值；
（2）$cos\frac{α}{2}$的值；
（3）$\frac{{sin2α-{{cos}^2}α}}{1+cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由两角差的正切公式计算即可；
（2）由tanα求出cosα的值，利用半角公式求出$cos\frac{α}{2}$的值；
（3）由二倍角公式，利用弦化切即可求出计算结果．

解答 解：$tanα=-\frac{3}{4}，α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
（1）$tan（{\frac{π}{4}-α}）$=$\frac{tan\frac{π}{4}-tanα}{1+tan\frac{π}{4}tanα}$
=$\frac{1-（-\frac{3}{4}）}{1+1×（-\frac{3}{4}）}$
=7；
（2）tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，
∴sinα=-$\frac{3}{4}$cosα，
∴sin²α+cos²α=${（-\frac{3}{4}cosα）}^{2}$+cos²α=$\frac{25}{16}$cos²α=1，
解得cosα=±$\frac{4}{5}$；
又α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosα=-$\frac{4}{5}$，
∴$cos\frac{α}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosα}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（3）$\frac{{sin2α-{{cos}^2}α}}{1+cos2α}$=$\frac{2sinαcosα{-cos}^{2}α}{{2cos}^{2}α}$
=$\frac{2sinα-cosα}{2cosα}$
=$\frac{2tanα-1}{2}$
=$\frac{2×（-\frac{3}{4}）-1}{2}$
=-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的基本关系与恒等变换应用问题，是基础题．