Question

13．函数$f（x）=lnx+\frac{1}{2}{x^2}+ax（a∈R）$，$g（x）={e^x}+\frac{3}{2}{x^2}$．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，判断函数的极值点的个数即可；
（Ⅱ）分离参数，问题转化为$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$对于?x＞0恒成立，设$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a$，∵x＞0，∴f'（x）∈[a+2，+∞），
①当a+2≥0，即a∈[-2，+∞）时，f'（x）≥0对?x＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）单调增，f（x）没有极值点；
②当a+2＜0，即a∈（-∞，-2）时，方程x²+ax+1=0有两个不等正数解x₁，x₂，
$f'（x）=x+\frac{1}{x}+a=\frac{{{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{{（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$
不妨设0＜x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）时，f'（x）＞0，f（x）增；
x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）减；x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）增，
所以x₁，x₂分别为f（x）极大值点和极小值点，f（x）有两个极值点．
综上所述，当a∈[-2，+∞）时，f（x）没有极值点；
当a∈（-∞，-2）时，f（x）有两个极值点．
（Ⅱ）f（x）≤g（x）?e^x-lnx+x²≥ax，由x＞0，
即$a≤\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$对于?x＞0恒成立，
设$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}（x＞0）$，$φ'（x）=\frac{{（{e^x}+2x-\frac{1}{x}）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x+1）（x-1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）减，
x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）增，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
∴a≤e+1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．