Question

3．椭圆$C：\;\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点为F（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标可得c=1，运用椭圆的离心率公式，可得a=2，再由a，b，c的关系求得b，进而得到所求椭圆方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，y₀），求得直线MN的方程，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．

解答 解：（1）由题意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，y₀），
由题意可得直线MN的方程为y=x-1，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得
7x²-8x-8=0，
x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
k_PM+k_PN=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$=$\frac{（{y}_{0}-{x}_{1}+1）（4-{x}_{2}）+（{y}_{0}-{x}_{2}+1）（4-{x}_{1}）}{（4-{x}_{1}）（4-{x}_{2}）}$
=$\frac{8{y}_{0}+8+2{x}_{1}{x}_{2}-（{y}_{0}+5）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16+{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{8{y}_{0}+8-\frac{16}{7}-\frac{8}{7}（{y}_{0}+5）}{16-\frac{8}{7}-\frac{32}{7}}$=$\frac{2{y}_{0}}{3}$，
又k_PF=$\frac{{y}_{0}}{3}$，则k_PM+k_PN=2k_PF，
则直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．