Question

11．函数f（x）=x²-2ax+lnx（a∈R）．
（I）函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a的值；
（II）讨论函数f（x）的单调性；
（III）不等式2xlnx≥-x²+ax-3在区间（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求函数f（x）=x²-2ax+lnx的定义域，
（Ⅰ）求导f′（x）=2x-2a+$\frac{1}{x}$，从而可得f′（1）=2-2a+1=-2，从而解得．
（Ⅱ）由基本不等式可得f′（x）=2x-2a+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$-2a，从而分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；
（Ⅲ）化简不等式2xlnx≥-x²+ax-3可得a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，再令g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，从而求导g′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，从而由单调性确定函数的最值，从而解得．

解答 解：函数f（x）=x²-2ax+lnx的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）f′（x）=2x-2a+$\frac{1}{x}$，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0垂直，
∴f′（1）=2-2a+1=-2，
解得，a=$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）f′（x）=2x-2a+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$-2a，
（当且仅当2x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立），
故①当2$\sqrt{2}$-2a≥0，即a≤$\sqrt{2}$时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞$\sqrt{2}$时，解2x-2a+$\frac{1}{x}$=0得，
x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
故当x∈（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）∪（ $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（ $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），（ $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）上是增函数，
在（ $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上是减函数；
综上所述，
当a≤$\sqrt{2}$时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞$\sqrt{2}$时，f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），（ $\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）上是增函数，
在（ $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上是减函数．
（Ⅲ）∵2xlnx≥-x²+ax-3，
∴a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令g（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，则g′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，e]上是增函数，
故（x+2lnx+$\frac{3}{x}$）_min=g（1）=1+3=4，
故a≤4．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了恒成立问题及最值问题，属于难题．