Question

4．（1）用分析法证明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$
（2）已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求证：a，b，c，全为正数．

Answer 1

分析 （1）寻找使不等式成立的充分条件，利用同解变形，转化证明42＞40．推出结论．
（2）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．于是考虑采用反证法．假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形．但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似．

解答 证明：（1）要证：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$，只要证 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，即证 42＞40．  而 42＞40  显然成立，
故原不等式成立．
（2）假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．
不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．
如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因为a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
综上所述，a＞0．
同理可证b＞0，c＞0．
所以原命题成立．

点评 （1）本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．（2）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．