Question

9．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若BC=6，AC边上的中线BD的长为7，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）根据正弦定理、和差公式、即可得出．
（Ⅱ）解法一：如图，延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．由D为AC的中点，可得四边形ABCE为平行四边形，在△BCE中，根据余弦定理，解得CE，即可得出△ABC的面积．
解法二：因为BD是AC边上的中线，可得$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，${\overrightarrow{BD}^2}=\frac{1}{4}{（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）^2}$，即$4{\overrightarrow{BD}^2}={\overrightarrow{BA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，解得AB即可得出△ABC的面积．
解法三：设AB=x，CD=DA=y．在△ABC中，根据余弦定理，可得x．在△BCD中，根据余弦定理可得y，在△ABD中，cos∠BDC=-cos∠BDA，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）根据正弦定理，由bcosC=（2a-c）cosB，
可得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，…（1分）
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
所以sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB…（4分）
因为sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$．（6分）
（Ⅱ）解法一：如图，延长BD至点E，使得DE=BD，连接AE，CE．…（7分）
因为D为AC的中点，所以四边形ABCE为平行四边形，…（8分）
所以$∠BCE=\frac{2π}{3}$，BE=14．
在△BCE中，根据余弦定理，得$B{E^2}=B{C^2}+C{E^2}-2BC•CE•cos\frac{2π}{3}$，…（9分）
即${14^2}={6^2}+C{E^2}-2•6•CE•（-\frac{1}{2}）$即CE²+6CE-160=0，…（10分）
解得CE=10，所以AB=CE=10．…（11分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．…（12分）
解法二：因为BD是AC边上的中线，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，…（7分）
所以${\overrightarrow{BD}^2}=\frac{1}{4}{（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）^2}$，即$4{\overrightarrow{BD}^2}={\overrightarrow{BA}^2}+{\overrightarrow{BC}^2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．…（8分）
所以$4×{7^2}=|\overrightarrow{BA}{|^2}+{6^2}+2×6×|{\overrightarrow{BA}}|×cos\frac{π}{3}$，即$|\overrightarrow{BA}{|}^{2}$+6$|\overrightarrow{BA}|$-160=0，…（10分）
解得$|\overrightarrow{BA}|=10$，即AB=10． …（11分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．…（12分）
解法三：设AB=x，CD=DA=y．…（7分）
在△ABC中，根据余弦定理，可得$A{C^2}=A{B^2}+B{C^2}-2AB•BC•cos\frac{π}{3}$，
即4y²=x²-6x+36…①．            …（7分）
在△BCD中，根据余弦定理可得，$cos∠BDC=\frac{{B{D^2}+D{C^2}-B{C^2}}}{2BD•DC}=\frac{{{7^2}+{y^2}-{6^2}}}{2×7y}=\frac{{{y^2}+13}}{14y}$．…（8分）
在△ABD中，同理可得，$cos∠BDA=\frac{{B{D^2}+A{D^2}-A{B^2}}}{2BD•AD}=\frac{{{7^2}+{y^2}-{x^2}}}{2×7y}=\frac{{{y^2}-{x^2}+49}}{14y}$．…（9分）
因为∠BDC+∠BDA=π，
所以cos∠BDC=-cos∠BDA，所以y²+13=-（y²-x²+49），
即2y²=x²-62…②．                       …（10分）
由①②可得x²+6x-160=0，所以x=10，即AB=10．…（11分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}AB•BC•sinB=\frac{1}{2}×6×10×sin\frac{π}{3}=15\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．