【题目】设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cos C=.
(Ⅰ)求△ABC的周长; (Ⅱ)求cos A的值.
【答案】(Ⅰ)5(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由余弦定理可求得c边,从而得到周长;(Ⅱ)由三边长度可利用余弦定理求得cos A的值
试题解析:(Ⅰ)∵c2=a2+b2-2abcos C=1+4-4×=4.-----------2分
∴c=2.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.-----------4分
(Ⅱ) ∵cos C=,∴sin C=
=
=
.---6分
∴sin A==
=
.-------------------------------8分
∵a<c,∴A<C.故A为锐角,------------------------------9分
∴cos A==
=
.----------------10分
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【题目】未知数的个数多余方程个数的方程(组)叫做不定方程,最早提出不定方程的是我国的《九章算术》.实际生活中有很多不定方程的例子,例如“百鸡问题”:公元五世纪末,我国古代数学家张丘建在《算经》中提出了“百鸡问题”:“鸡母一,值钱三;鸡翁一,值钱二;鸡雏二,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”
算法设计:
(1)设母鸡、公鸡、小鸡数分别为、
、
,则应满足如下条件:
;
.
(2)先分析一下三个变量的可能值.①的最小值可能为零,若全部钱用来买母鸡,最多只能买33只,
故的值为
中的整数.②
的最小值为零,最大值为50.③
的最小值为零,最大值为100.
(3)对、
、
三个未知数来说,
取值范围最少.为提高程序的效率,先考虑对
的值进行一一列举.
(4)在固定一个的值的前提下,再对
值进行一一列举.
(5)对于每个,
,怎样去寻找满足百年买百鸡条件的
.由于
,
值已设定,便可由下式得到:
.
(6)这时的,
,
是一组可能解,它只满足“百鸡”条件,还未满足“百钱”.是否真实解,还要看它们是否满足
,满足即为所求解.
根据上述算法思想,画出流程图并用伪代码表示.
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【题目】已知直线与椭圆
相交于
两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为
,求线段
的长;
(2)若向量与向量
互相垂直(其中
为坐标原点),当椭圆的离心率
时,求椭圆长轴长的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆上任意一点到右焦点
的距离的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点是线段
上异于
的一个定点(
为坐标原点),是否存在过点
且与
轴不垂直的直线
与椭圆交于
两点,使得
,并说明理由.
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【题目】如图,已知动直线过点
,且与圆
交于
、
两点.
(1)若直线的斜率为
,求
的面积;
(2)若直线的斜率为
,点
是圆
上任意一点,求
的取值范围;
(3)是否存在一个定点(不同于点
),对于任意不与
轴重合的直线
,都有
平分
,若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校高三年级在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序,选出前300名学生,并对这300名学生按成绩分组,第一组,第二组
,第三组
,第四组
,第五组
,如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.
(I)请在图中补全频率直方图;
(II)若大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生,并且分成2组,每组3人进行面试,求95分(包括95分)以上的同学被分在同一个小组的概率.
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