Question

19．在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（2，2），$\frac{1}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}\overrightarrow{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{|{\overrightarrow{BD}}|}}\overrightarrow{BD}$，则四边形ABCD的面积是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 四边形ABCD为平行四边形，对$\frac{1}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}\overrightarrow{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{|{\overrightarrow{BD}}|}}\overrightarrow{BD}$两边平方可求出∠ABC=60°，在BA上取点M，在BC上取点N，使得BM=BN=1，以BM，BN为邻边作平行四边形BMPN，则四边形BMPN为菱形，利用比例式求出AD=AB=2$\sqrt{2}$，从而求出四边形的面积．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$=（2，2），∴AB∥DC，AB=DC=2$\sqrt{2}$．
∴四边形ABCD是平行四边形．
在BA上取点M，在BC上取点N，使得BM=BN=1，
则$\overrightarrow{BM}=\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$，$\overrightarrow{BN}=\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$，
以BM，BN为邻边作平行四边形BMPN，则四边形BMPN为菱形，
∴MP=BN=1．
∵MP∥BN．AD∥BC，
∴MP∥AD，
∴$\frac{MP}{AD}=\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴AD=AB=2$\sqrt{2}$．
∵$\frac{1}{{|{\overrightarrow{BA}}|}}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}\overrightarrow{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{|{\overrightarrow{BD}}|}}\overrightarrow{BD}$，即|$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}$|=$\sqrt{3}$，
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}+{\overrightarrow{BN}}^{2}+2\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}=3$，即1+1+2cos∠ABC=3，
∴cos∠ABC=$\frac{1}{2}$，∴∠ABC=60°．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABC=4$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．