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设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(Ⅰ) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(I) 利用曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,可得f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即为关于a、b的方程,解方程即可.
(II)把方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根转化为x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.求出实数m的取值范围以及x1,x2与实数m的关系,再把f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立问题转化为求函数f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值,综合在一起即可求出实数m的取值范围.
解答:解:(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得
8+8a+2b+a=0
12+8a+b=1
,解得
a=-2
b=5

所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>-
1
4

又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(-
1
4
,0).
点评:本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立,以及函数与方程和特殊与一般的思想.
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12
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