Question

13．已知向量$\overrightarrow a=（cosα，sinα），\overrightarrow b=（cosx，sinx）$，$\overrightarrow c=（sinx+2sinα，cosx+2cosα）$，其中0＜α＜x＜π
（1）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，求tan2α的值；
（2）若$α=\frac{π}{4}$，求函数$f（x）=\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知结合$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，可得x-α=$\frac{π}{3}$，再由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow c$，结合坐标运算可得tan2α的值；
（2）写出函数$f（x）=\overrightarrow b•\overrightarrow c$，然后令$t=sinx+cosx（\frac{π}{4}＜x＜π）$换元，转化为关于t的一元二次函数求解．

解答 解：（1）由已知，$cos\frac{π}{3}=\frac{\vec a•\vec b}{|\vec a||\vec b|}=cosαcosx+sinαsinx=cos（x-α）$，
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，得$x-α=\frac{π}{3}$．
由$\vec a⊥\vec c$，得cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0，
即sin（x+α）+2sin2α=0，
由x-$α=\frac{π}{3}$，得x=$α+\frac{π}{3}$，
∴sin（2$α+\frac{π}{3}$）+2sin2α=0，得$\frac{5}{2}sin2α+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2α=0$，
∴tan2α=$-\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）f（x）=cosxsinx+2ssinαcosx+sinxcosx+2sinxcosα=$2sinxcosx+\sqrt{2}（sinx+cosx）$．
令$t=sinx+cosx（\frac{π}{4}＜x＜π）$，则$t∈（-1，\sqrt{2}）$，
且2sinxcosx=t²-1，
∴$y={t^2}+\sqrt{2}t-1={（t+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}-\frac{3}{2}$．
当$t=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，${y_{min}}=-\frac{3}{2}$，此时$sinx+cosx=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒sin（x+\frac{π}{4}）=-\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{4}$＜x＜π，∴$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，得x+$\frac{π}{4}=\frac{7π}{6}$，x=$\frac{11π}{12}$．
∴f（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$，相应的x的值为$\frac{11}{12}π$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，训练了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质应用，是中档题．