Question

13．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$．
（1）求函数的值域和最小正周期；
（2）求函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角和正弦公式化简函数f（x）的解析式，求出周期，由-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，求得函数f（x）的值域．
（2）利用正弦函数图象的性质来求函数的单调增区间．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}sinx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx$
=cos$\frac{π}{3}$sinx-sin$\frac{π}{3}$cosx
=sin（x-$\frac{π}{3}$），
即f（x）=sin（x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}$=2π，
又∵x∈R，
∴-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函数f（x）的值域为 {y|-1≤y≤1}．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）．

点评 本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，和值域，化简函数f（x）的解析式，是解题的突破口．