Question

12．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t＞0）上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域求出导函数，求这个函数在x=1处的切线的斜率，然后求解函数的切线方程．（Ⅱ）通过f'（x）=1+lnx=0，求出极值点，通过（1）当$0＜t≤\frac{1}{e}$时，（2）当$t＞\frac{1}{e}$时，分别判断函数的单调性．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx．
这个函数的图象在x=1处的切线的斜率为k=f′（1）=1．
把x=1代入f（x）=xlnx中得f（1）=0，即切点坐标为（1，0）．
则这个函数的图象在x=1处的切线方程为y=x-1．…（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=1+lnx=0，得$x=\frac{1}{e}$．
（1）当$0＜t≤\frac{1}{e}$时，在区间（0，t]上，f′（x）≤0成立，所以函数f（x）为减函数．
（2）当$t＞\frac{1}{e}$时，在区间$（{0，\frac{1}{e}}）$上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间$（{\frac{1}{e}，t}）$上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的单调性的判断，考查计算能力．