Question

6．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q（q≠1），证明：S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

Answer 1

分析 由${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，得${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，利用错位相减法能证明S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

解答 证明：因为${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，…（2分）
所以${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，…（4分）
qS_n=${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}+{a}_{1}{q}^{n}$，…（6分）
所以（1-q）S_n=${a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}$，…（8分）
当q≠1时，有S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．  …（10分）

点评 本题考查等比数列的前n项和公式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．