Question

已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) ,
(2)根据题意，由于，∴.放缩法来得到证明。
(3)，由是非零整数，知存在满足条件．

试题分析：(1）由.
当时，，解得或（舍去）．  2分
当时，
由，
∵，∴，则，
∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．  4分
另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．
（2）证法一：∵
， 4分
∴当时，

.… 7分
当时，不等式左边显然成立.         8分
证法二：∵，∴.
∴. 4分
∴当时，
. 7分
当时，不等式左边显然成立.  ……8分
（3）由，得，
设，则不等式等价于.
，……9分
∵，∴，数列单调递增.          
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
① 当为奇数时，得； ……11分
② 当为偶数时，得，即.  12分
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．  12分
点评：解决的关键是利用数列的单调性来证明不等式，以及分离参数的思想来求解参数的取值范围。