Question

【题目】如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中单位：百米，，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为，拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．

设P点的横坐标为t，写出面积的函数表达式；

当t为何值时，面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据曲线切线方程的求法，得到切线的方程；与方程联立，得到点的坐标，利用得到函数关系式；（2）通过导数求得的单调性，可知极小值点即为最小值点，从而求得最小面积。

由已知可知，故直线MN的斜率为，

直线MN的方程为，

令可得，．

又，，

直线EF的方程为，

联立方程组，解得，，

，

．

．

当时，，单调递减，当时，，单调递增.

当时，取得最小值．

当时，面积最小，最小面积为