Question

13．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{5}，\overrightarrow{ON}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\overrightarrow{OM}$．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（1）求曲线C的方程；  
（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），可知点M₁的坐标，由$\overrightarrow{ON}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\overrightarrow{OM}$可得点N的坐标和N₁的坐标，进而表示出$\overrightarrow{{M}_{1}M}$和$\overrightarrow{{N}_{1}N}$，代入$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$，求得x和x'的关系，y和y'的关系，再代入|$\overrightarrow{OM}$|中求得x和y的关系，即可得到曲线C的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-5），联立直线方程与椭圆方程，消去y化为关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x₀，y₀），利用根与系数的关系得x₁+x₂，求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|可得BR⊥l，再由k•k_BR=-1，整理得20k²=20k²-4，此结论不成立，可判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

解答 解：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M₁的坐标为（0，y'），
由$\overrightarrow{ON}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\overrightarrow{OM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x′，y′），得点N的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x′，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′），N₁的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x′，0），
∴$\overrightarrow{{M}_{1}M}$=（x′，0），$\overrightarrow{{N}_{1}N}$=（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′）．
由$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{{M_1}M}+\overrightarrow{{N_1}N}$，得（x，y）=（x′，0）+（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y′），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}y′}\end{array}\right.$，得x′=x，y′=$\frac{\sqrt{5}}{2}y$．
由|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$，得（x′）²+（y′）²=5，
∴${x}^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}y）^{2}=5$，即$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故所求曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$； 
（2）点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y=k（x-5）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-5）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0．
依题意△=20（16-80k²）＞0，得-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
当-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x₀，y₀），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{50{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}$．
∴y₀=k（x₀-5）=k（$\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}-5$）=$\frac{-20k}{5{k}^{2}+4}$．
由|BP|=|BQ|，得BR⊥l，则k•k_BR=-1，
∴$k•{k}_{BR}=k•\frac{\frac{20k}{5{k}^{2}+4}}{1-\frac{25{k}^{2}}{5{k}^{2}+4}}=\frac{20{k}^{2}}{4-20{k}^{2}}=-1$，即20k²=20k²-4，
此式显然不成立，
∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．