Question

5．若${（3{x^2}-\frac{1}{{2{x^3}}}）^n}$的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为$\frac{135}{2}$．

Answer 1

分析 利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，
求出满足条件的n值，再求常数项．

解答 解：${（3{x^2}-\frac{1}{{2{x^3}}}）^n}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（3x²）^n-r•${（-\frac{1}{{2x}^{3}}）}^{r}$=${（-\frac{1}{2}）}^{r}$•3^n-r•${C}_{n}^{r}$•x^2n-5r；
令2n-5r=0，且n∈N*，r≥0，
解得n=5，r=2时满足题意，
此时常数项为：${（-\frac{1}{2}）}^{2}$•3^5-2•${C}_{5}^{2}$=$\frac{135}{2}$．
故答案为：$\frac{135}{2}$．

点评 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题．