Question

【题目】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，，点F为PB中点，点E在边BC上移动．

（Ⅰ）求证：PD∥平面AFC；

（Ⅱ）若，求证：；

（Ⅲ）若二面角的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥的体积为．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）连接,设,底面是矩形,可知是的中点,利用中位线的性质、直线与平面平行的判定定理，可证出PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，点F为PB中点，可知, 由PA⊥平面,可得,由四边形是矩形,可知,这样可以得到平面,因此可证出,这样可以证出平面,这样就可以证明出;

（Ⅲ）建立空间直角坐标系,通过若二面角的大小为60°,可以求出点的坐标,由三棱锥的体积为,可以求出CE的长.

（Ⅰ）连接,设,如下图所示:

四边形ABCD是矩形,所以是的中点, F为PB中点,所以有,

而平面,平面,由直线与平面平行的判定定理可知: PD∥平面AFC；

（Ⅱ）由，，所以是等腰三角形,点F为PB中点，所以有, 因为PA⊥平面,而平面,于是有,

因为四边形是矩形,所以,又平面, 平面,平面,所以,而 ,

所以平面,而平面,所以 ;

（Ⅲ）建立如上图所示的空间直角坐标系,

设，,

设平面的法向量为,则有

,而PA⊥平面,所以是平面的法向量，所以有，

，设，，

三棱锥的体积为，解得，

所以当时，三棱锥的体积为．