Question

【题目】定义区间,,,的长度均为,其中.

(1)已知函数的定义域为,值域为,写出区间长度的最大值与最小值.

(2)已知函数的定义域为实数集,满足 (是的非空真子集).集合, ,求的值域所在区间长度的总和.

(3)定义函数,判断函数在区间上是否有零点,并求不等式解集区间的长度总和.

Answer 1

【答案】（1）最大值为,最小值为；（2）；（3）方程在区间内有一个解，解集区间的长度总和10

【解析】

（1）利用数形结合求出即可；（2）求出两区间长度作和即可；（3）根据题意可得方程在区间内各有一个解，依次记这个解为，则可得，

对进行通分处理,分子记为，有，又有，通过上面三个关系式，比较可得出结论.

解:(1),

解得或,

,解得,

画图可得:区间长度的最大值为,

最小值为；

(2)

当,,

当,,

所以时,

所以值域区间长度总和为；

(3)由于当时,取,,

取,,

所以方程在区间内有一个解

考虑函数,由于当时,,故在区间内,不存在使的实数;

对于集中的任一个,由于当时,

取,,取,

又因为函数在区间内单调递减,

所以方程在区间内各有一个解;

依次记这个解为,

从而不等式的解集是,故得所有区间长度的总和为

………①

对进行通分处理,分子记为

如将展开,其最高项系数为,设

②

又有 ③

对比②③中的系数，

，

可得:.