Question

19．已知AB是⊙O的直径，F为圆上一点，∠BAF的角平分线与圆交于点C，过点C作圆的切线与直线AF相交于点D，若AB=6，∠DAB=$\frac{π}{3}$
（1）证明：AD⊥CD；
（2）求DF•DA的值及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由AB是圆O的直径，可得∠ACB=$\frac{π}{2}$．由于∠DAB=$\frac{π}{3}$，AC平分∠DAB．利用角平分线的性质可得∠CAB=∠CAD=$\frac{π}{6}$，可得∠ABC=$\frac{π}{3}$．利用切线的性质可得∠ACD=∠ABC=$\frac{π}{3}$．可得∠ADC=$\frac{π}{2}$即可．
（2）在Rt△ABC中，利用AB=6，∠ABC=$\frac{π}{3}$，可得AC=ABsin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD．再利用切割线定理可得：DF•DA=DC²即可，再求四边形ABCD的面积．

解答 （1）证明：如图所示．
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=$\frac{π}{2}$．
∵∠DAB=$\frac{π}{3}$，AC平分∠DAB．
∴∠CAB=∠CAD=$\frac{π}{6}$，∴∠ABC=$\frac{π}{3}$．
∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=$\frac{π}{3}$．
∴∠CAD+∠ACD=$\frac{π}{2}$．
∴∠ADC=$\frac{π}{2}$．
∴AD⊥DC．
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=$\frac{π}{3}$．
∴AC=ABsin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．
在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
由切割线定理可得：DF•DA=DC²=$\frac{27}{4}$．
AF=cos30°•AC=$\frac{9}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}CD•AD+\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{1}{2}•\frac{3\sqrt{3}}{2}•（\frac{\sqrt{3}}{2}•3\sqrt{3}）+\frac{1}{2}•3\sqrt{3}•3$=$\frac{63\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题中考查了圆的性质、切线的性质、直角三角形的边角关系、角平分线的性质、切割线定理等基础知识与基本技能，属于中档题．