Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去，则第4个三角形的面积等于

3 a2

256

．

Answer 1

分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．

解答：解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD=DB=

1

2

AB=AC=a，
第二个等边三角形的边长EF=

1

2

DB=

1

2

a，
…
第4个等边三角形的边长为

1

23

a=

1

8

a，
所以，第4个三角形的面积=

1

2

×(

1

8

a)2×

3

2

=

3

256

a2．
故答案为：

3 a2

256

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质．