Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+3-a，若x∈[-2，2]的函数值大于0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据对称轴与[-2，2]的关系判断f（x）的单调性，利用单调性求出f_min（x），令f_min（x）＞0得出a的范围．

解答 解：f（x）的图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$．
（1）若-$\frac{a}{2}$≤-2，即a≥4时，f（x）在[-2，2]上是增函数，∴f_min（x）=f（-2）=7-3a，
令f_min（x）＞0，即7-3a＞0，解得a＜$\frac{7}{3}$（舍）．
（2）若-$\frac{a}{2}$≥2，即a≤-4时，f（x）在[-2，2]上是减函数，∴f_min（x）=f（2）=7+a．
令f_min（x）＞0，即7+a＞0，解得a＞-7，∴-7＜a≤-4．
（3）若-2＜-$\frac{a}{2}$＜2，即-4＜a＜4时，f（x）在[-2，-$\frac{a}{2}$]上是减函数，在（-$\frac{a}{2}$，2]上是增函数，∴f_min（x）=f（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+3．
令f_min（x）＞0，即-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+3＞0，解得-6＜a＜2，∴-4＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（-7，2）．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值，需要讨论对称轴与区间的关系，属于中档题．