Question

1．若函数f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（　　）

• A． -$\frac{25}{4}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． $\frac{41}{4}$

Answer 1

分析 根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：函数f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）的图象关于直线x=0对称，
∴f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），
即-2（1-a+b）=0，0=4•（4+2a+b），求得b=-2，a=-1，
∴f（x）=（x-1）（x+2）（x²-x-2  ）=x⁴-5x²+4，
∴f′（x）=4x³-10x=2x（2x²-5）=2x（$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$）•（$\sqrt{2}$x+$\sqrt{5}$）．
显然，在（-∞，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），（0，$\frac{\sqrt{10}}{2}$）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在（$-\frac{\sqrt{10}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=$-\frac{\sqrt{10}}{2}$时，y=$-\frac{9}{4}$，x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，y=$-\frac{9}{4}$，
函数y取得最小值为$-\frac{9}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大．