Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点${P_n}（{n，{S_n}}）（{n∈{N^*}}）$是曲线f（x）=x²+2x上的点．数列{a_n}是等比数列，且满足b₁=a₁，b₂=a₄．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得到数列{a_n}的前n项和，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求得数列通项公式，验证首项后得答案；再由b₁=a₁，b₂=a₄求出数列{b_n}的首项和公比，进一步得到数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，利用数列的分组求和求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由已知，${S}_{n}={n}^{2}+2n$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}+2n）-[（n-1）^{2}+2（n-1）]$=2n+1．
当n=1时，a₁=3适合上式．
∴a_n=2n+1；
由于b₁=a₁=3，b₂=a₄=9，
∴等比数列{b_n}的公比为3，
∴${b}_{n}={3}^{n}$；
（2）${c_n}={（{-1}）^n}{a_n}+{b_n}$，
当n为偶数时，T_n=[（-3+5）+（-7+9）+…-（2n-1）+（2n+1）]+（3+3²+…+3ⁿ）
$2×\frac{n}{2}+\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}=\frac{{3}^{n+1}}{2}+n-\frac{3}{2}$；
当n为奇数时，n-1为偶数，
${T}_{n}={T}_{n-1}+{c}_{n}=[\frac{{3}^{（n-1）+1}}{2}+（n-1）-\frac{3}{2}]+$$（-1）×（2n+1）+{3}^{n}=\frac{{3}^{n+1}}{2}-n-\frac{7}{2}$．
综上所述，${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{n+1}}{2}+n-\frac{3}{2}，n为偶数}\\{\frac{{3}^{n+1}}{2}-n-\frac{7}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和，属中档题．