Question

3．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（Ⅰ）求证：AE∥面DBC；
（Ⅱ）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：面ADB⊥面EDC．

Answer 1

分析 （I）过点D作DO⊥BC，O为垂足，则由面面垂直的性质得出DO⊥平面ABC，于是AE∥DO，从而得出AE∥面DBC；
（II）由面面垂直的性质可得AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，结合BD⊥CD可得CD⊥平面ABD，从而得出面ADB⊥面EDC．

解答 证明：（Ⅰ）过点D作DO⊥BC，O为垂足，
∵面DBC⊥面ABC，面DBC∩面ABC=BC，DO?面DBC，
∴DO⊥面ABC，
又AE⊥面ABC，
∴AE∥DO，
又AE?面DBC，DO?面DBC，
∴AE∥面DBC．
（Ⅱ）∵面DBC⊥面ABC，面DBC∩面ABC=BC，AB⊥BC，
∴AB⊥面DBC，
又DC?面DBC，
∴AB⊥DC，
又BD⊥CD，AB∩BD=B，AB、BD?面ADB，
∴DC⊥面ADB，
又DC?面EDC，
∴面ADB⊥面EDC．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，线面垂直的性质，属于中档题．