Question

6．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 构造函数，利用导数研究其单调性判断①；写出命题的逆否命题判断②；由复合命题的真假判断结合充分必要条件的判定方法判断③，写出全称命题的否定判断④．

解答 解：①令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，则x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
∴若x＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；
②命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”，故②正确；
③若命题p∧q为真，则p真且q真，∴命题p∨q为真；反之，若命题p∨q为真，则p真或q真，则命题p∧q不一定为真，
∴“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”，故④正确．
∴正确命题的个数是4个．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．