Question

15．已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且a₃，$\frac{1}{2}{a_5}，{a_4}$成等差数列，则$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，且q＞0，
∵a₃，$\frac{1}{2}{a_5}，{a_4}$成等差数列，
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{5}={a}_{3}+{a}_{4}$，则${a}_{3}{q}^{2}={a}_{3}+{a}_{3}q$，
化简得，q²-q-1=0，解得q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
则q=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{3}q+{a}_{5}q}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．