Question

20．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}$，则$\sum_{k=1}^{2016}{f（{\frac{k}{2017}}）}$的值为（　　）

• A． 0
• B． 504
• C． 1008
• D． 2016

Answer 1

分析 使用二项式定理化简得f（x）═（x-$\frac{1}{2}$）³+$\frac{1}{4}$．根据$\frac{k}{2017}-\frac{1}{2}$与$\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$互为相反数便可得出答案．

解答 解：f（x）=x³-$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}$=x³-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{4}$x-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）³+$\frac{1}{4}$．
∵$\frac{k}{2017}-\frac{1}{2}$+$\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$=0，k=1，2，…2016．
∴（$\frac{k}{2017}$-$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{2017-k}{2017}-\frac{1}{2}$）³=0，k=1，2，…2016．
∴$\sum_{k=1}^{2016}{f（{\frac{k}{2017}}）}$=$\frac{1}{4}×2016$=504．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．