Question

10．若定义域为R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．给出下列四个关于“λ-伴随函数”的命题：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；②f（x）=x+1是“λ-伴随函数”；③f（x）=2^x是“λ-伴随函数”；④当λ＞0时，“λ-伴随函数”f（x）在（0，λ）内至少有一个零点．所有真命题的序号为③．

Answer 1

分析 假设函数为λ-伴随函数，根据定义得出f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，从而得出λ的方程，根据方程是否有解得出假设是否成立．

解答 解：对于①，假设常数函数f（x）=k为λ-伴随函数”，则k+λk=0，∴（1+λ）k=0，
∴当λ=-1或k=0．
∴任意一个常数函数都是''λ-伴随函数''，其中λ=-1．
故①错误；
对于②，假设f（x）=x+1是“λ-伴随函数”，则x+λ+1+λ（x+1）=0恒成立，
即（1+λ）x+2λ+1=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ=0}\\{2λ+1=0}\end{array}\right.$，无解，故f（x）=x+1不是“λ-伴随函数”，
故②错误；
对于③，假设f（x）=2^x是“λ-伴随函数”，则2^x+λ+λ•2^x=0恒成立，
即（2^λ+λ）•2^x=0恒成立，
∴2^λ+λ=0，
做出y=2^x和y=-x的函数图象如图：

由图象可知方程2^λ+λ=0有解，即f（x）=x+1是“λ-伴随函数”，
故③正确；
对于④，∵f（x）是“λ-伴随函数”，∴f（x+λ）+λf（x）=0恒成立，
∴f（λ）+λf（0）=0，
∴f（0）f（λ）+λf²（0）=0，即f（0）•f（λ）=-λ²f（0）≤0．
若f（0）≠0，则f（0）•f（λ）＜0，∴f（x）在（0，λ）上至少存在一个零点，
若f（0）=0，则f（0）•f（λ）=0，则f（x）在（0，λ）上可能存在零点，也可能不存在零点．
故④错误．
故答案为③．

点评 本题考查了新定义的理解，函数恒成立问题的研究，方程根的存在性判断，属于中档题．