Question

2．在队内羽毛球选拔赛中，选手M与B₁，B₂，B₃三位选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，且各场比赛互不影响．
（1）若M至少获胜两场的概率大于$\frac{7}{10}$，则M入选下一轮，否则不予入选，问M是否会入选下一轮？
（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式及其分布列与数学期望计算公式即可得出

解答 解：（1）M与B₁，B₂，B₃进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，
则P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$由于事件A，B，C相互独立，
所以P（D）=P（ABC）+P$（\overline{A}BC）$+$P（A\overline{B}C）$+P（$AB\overline{C}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{15}$，
由于$\frac{11}{15}=\frac{22}{30}$$＞\frac{21}{30}$=$\frac{7}{10}$，所以M会入选下一轮．
（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{30}$，
P（X=2）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{14}{30}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{30}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{14}{30}$	$\frac{8}{30}$

数学期望E（X）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{7}{30}$+2×$\frac{14}{30}$+3×$\frac{8}{30}$=$\frac{59}{30}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．