Question

13．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右支上一点P分别向圆C₁：（x+3）²+y²=4和圆C₂：（x-3）²+y²=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|²-|PB|²的最小值为9．

Answer 1

分析 求得两圆的圆心和半径，设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），连接PF₁，PF₂，F₁A，F₂B，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．

解答 9解：圆C₁：（x+3）²+y²=4的圆心为（-3，0），半径为r₁=2；
圆C₂：（x-3）²+y²=1的圆心为（3，0），半径为r₂=1，
设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），
连接PF₁，PF₂，F₁A，F₂B，可得
|PA|²-|PB|²=（|PF₁|²-r₁²）-（|PF₂|²-r₂²）
=（|PF₁|²-4）-（|PF₂|²-1）
=|PF₁|²-|PF₂|²-3=（|PF₁|-|PF₂|）（|PF₁|+|PF₂|）-3
=2a（|PF₁|+|PF₂|-3=2（|PF₁|+|PF₂|）-3≥2•2c-3=2•6-3=9．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值9．
故答案为：9

点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．