Question

5．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆${x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{4}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．若$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{10}x±2y=0$
• B． $2x±\sqrt{10}y=0$
• C． $\sqrt{6}x±2y=0$
• D． $2x±\sqrt{6}y=0$

Answer 1

分析 判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，再由c²=a²+b²，求出$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，问题得以解决．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$）
∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，
则PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即9a²+a²=4c²=4（a²+b²），
∴3a²=2b²，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，即$\sqrt{6}$x±2y=0，
故选：C

点评 本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题．