Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，-1），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过M（0，m）（-1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．

解答 解：（1）由题意，b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，b=1，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1
②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，
此时以AB为直径的圆的方程为：x²+（y-m）²=2（1-m）²，与x²+y²=1联立，得y=$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$，
∵（x，$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$）在椭圆上，
∴$\frac{3{m}^{2}-1}{2m}$=1，
∵-1＜m＜0，∴m=-$\frac{1}{3}$，
∴m=-$\frac{1}{3}$，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；
③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx-$\frac{1}{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²-$\frac{4}{3}$kx-$\frac{16}{9}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k}{3（1+2{k}^{2}）}$，x₁x₂=-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$，
$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}$=（k²+1）x₁x₂-$\frac{4}{3}$k（x₁+x₂）+$\frac{16}{9}$=（k²+1）（-$\frac{16}{9（1+2{k}^{2}）}$）-$\frac{4}{3}$k•$\frac{4k}{3（1+2{k}^{2}）}$+$\frac{16}{9}$=0，
∴过M（0，-$\frac{1}{3}$）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），
综上所述，m=-$\frac{1}{3}$时，过M（0，-$\frac{1}{3}$）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．