Question

1．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的$\frac{2}{3}$，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 设椭圆的方程，由题意，求得M坐标，利用勾股定理，及椭圆的定义，代入求得a和b的关系，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），焦点坐标为（±c，0），
设M（x，y）在椭圆上，则P到x轴的距离等于短半轴长的$\frac{2}{3}$，
即x=c，y=$\frac{2}{3}$b，
Rt△MF₁F₂中，F₁F₂⊥MF₂，
∴丨F₁F₂丨²+丨MF₂丨²=丨MF₁丨²，即4c²+$\frac{4}{9}$=丨MF₁丨²，
根据椭圆的定义得：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，
可得丨MF₁丨²=（2a-丨MF₂丨）²=（2a-$\frac{2}{3}$b）²，
∴（2a-$\frac{2}{3}$b）²=4c²+$\frac{4}{9}$b²，整理得4c²-4a²+$\frac{8}{3}$ab=0，
可得3（a²-c²）=2ab，
则3b²=2ab，则b=$\frac{2}{3}$a，
由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
椭圆的离心率$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查计算能力，属于中档题．